Для того чтобы корень уравнения x(b+7) - 5 = 27 был натуральным числом, необходимо, чтобы x было целым числом. Также можно заметить, что b также должно быть целым числом, чтобы правая часть уравнения была целым числом.

Исходя из уравнения, x(b + 7) = 32, можно подобрать делители числа 32, которые будут давать натуральные значения x и b (учитывая, что x и b должны быть целыми).

32=132 -> x=1, b=24
32=216 -> x=2, b=14
32=48 -> x=4, b=6
32=84 -> x=8, b=-1

Таким образом, существует 4 целых значений b, при которых корнем уравнения будет натуральное число. Ответ: а)4.