Дано уравнение:

x³ - 3x² - 4x + 12 = 0

Сначала проведем анализ возможных рациональных корней уравнения по теореме Рациоальных корней:
Пусть D - это множество делителей свободного члена (12), т.е. D = {±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12}
Пусть N - это множество делителей старшего коэффициента (1)
Тогда все рациональные корни уравнения будут представлять собой отношения p/q, где p - делитель свободного члена, а q - делитель старшего коэффициента.

Из этого вытекает, что нам нужно провести проверку на корни, равные ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.

Подбирая подстановкой, найдем корень уравнения: x = 2
Подставляем x = 2 в уравнение и находим, что уравнение выполняется. Значит, x = 2 - это корень уравнения.

Операция деления уравнения на (x - 2) даст:
x² - x - 6 = 0

Проведем анализ возможных рациональных корней для этого уравнения, предполагая, что у него существуют рациональные корни. Находим корень x = 3.

Таким образом, корни исходного уравнения x³ - 3x² - 4x + 12 = 0:
x₁ = 2
x₂ = 3