Пусть у нас есть прямоугольный треугольник ABC с прямым углом в C, где AB и BC - неравные катеты. Проведем биссектрису угла C, которая пересечет AB в точке D.

Пусть точка пересечения высоты из вершины C и медианы из вершины C равна E.

Так как треугольник ABC - прямоугольный, то угол CBD равен углу A и угол BCD равен углу A/2 (так как CD - биссектриса угла C).

Поскольку треугольник ACD - подобен треугольнику CDB, то AD/CD = CD/BD

Так как точка E - середина AB, то AE = EB

Теперь рассмотрим треугольники AEC и BEC:

Угол AEC равен углу CEB (как вертикальные углы)

Также AE = EB (как равные отрезки)

Следовательно, треугольники AEC и BEC равны по двум сторонам и углу между ними, следовательно, угол ACE равен углу BCE.

Таким образом, биссектриса угла C делит угол между высотой и медианной, проведенной из этой вершины, пополам.