Для нахождения четвертого члена геометрической прогрессии, нужно найти знаменатель прогрессии d, а затем вычислить четвертый член.

Заметим, что второй член (a_2 = 5\sqrt{3} - 14) и третий член (a_3 = 3 - 5\sqrt{3})

Для нахождения знаменателя (d) вычислим отношение третьего к второму члену:
[
\frac{a_3}{a_2} = \frac{3 - 5\sqrt{3}}{5\sqrt{3} - 14}
]
[
\frac{3 - 5\sqrt{3}}{5\sqrt{3} - 14} = \frac{3 - 5\sqrt{3}}{5\sqrt{3} - 14} \cdot \frac{5\sqrt{3} + 14}{5\sqrt{3} + 14} = \frac{15\sqrt{3} + 42 - 25\sqrt{3} -70}{75 - 196} = \frac{-10\sqrt{3} - 28}{-121}
]
[
\frac{-10\sqrt{3} - 28}{-121} = \frac{10\sqrt{3} + 28}{121}
]

Таким образом, знаменатель прогрессии равен (d = \frac{10\sqrt{3} + 28}{121})

Теперь найдем четвертый член геометрической прогрессии:
[
a_4 = a_3 \cdot d = (3 - 5\sqrt{3}) \cdot \frac{10\sqrt{3} + 28}{121} = \frac{3(10\sqrt{3} + 28)}{121} - \frac{5\sqrt{3}(10\sqrt{3} + 28)}{121}
]
[
a_4 = \frac{30\sqrt{3} + 84}{121} - \frac{50*3 + 140\sqrt{3}}{121} = \frac{30\sqrt{3} + 84}{121} - \frac{150 + 140\sqrt{3}}{121}
]
[
a_4 = \frac{30\sqrt{3} + 84 - 150 - 140\sqrt{3}}{121} = \frac{-110 + 10\sqrt{3}}{121}
]

Итак, четвертый член геометрической прогрессии равен (\frac{-110 + 10\sqrt{3}}{121})