Для того чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, нужно проверить выполнение условий прямоугольника: диагонали равны и перпендикулярны.

Проверим равенство диагоналей:
Для этого вычислим длины диагоналей AC и BD с помощью формулы расстояния между двумя точками в прямоугольной системе координат:
AC = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²) = √((10 - 14)² + (23 - 3)²) = √((-4)² + 20²) = √(16 + 400) = √416 ≈ 20.4,
BD = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²) = √((2 - 22)² + (11 - 15)²) = √((-20)² + (-4)²) = √(400 + 16) = √416 ≈ 20.4.

Таким образом, диагонали AC и BD равны.

Проверим перпендикулярность диагоналей. Для этого вычислим произведение угловых коэффициентов отрезков AC и BD и убедимся, что оно равно -1:
k1 = (23 - 3) / (10 - 14) = 20 / (-4) = -5,
k2 = (11 - 15) / (2 - 22) = (-4) / (-20) = 1 / 5.

k1 k2 = (-5) (1/5) = -1.

Таким образом, диагонали AC и BD прямоугольника ABCD равны и перпендикулярны, что означает, что ABCD действительно является прямоугольником.

Для нахождения площади данного прямоугольника ABCD воспользуемся формулой для площади прямоугольника: S = a b, где a и b - длины его сторон.
Для сторон прямоугольника ABCD возьмем AC и BD (как диагонали):
S = AC BD = 20.4 * 20.4 ≈ 416.16.

Ответ: Прямоугольник ABCD является прямоугольником, его площадь равна примерно 416.16 квадратных единиц.