Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Пифагора:
AC^2 = AH^2 + CH^2

Так как треугольник прямоугольный, то AH и CH - катеты, а AC - гипотенуза, которая равна 48.

Подставляем известные значения:
48^2 = AH^2 + CH^2
2304 = AH^2 + CH^2

Также у нас есть равенство двух площадей:
S(ABC) = S(ACH) + S(BCH)

1/2 AC BC = 1/2 AH CH + 1/2 BC CH
1/2 48 14 = 1/2 AH CH + 1/2 14 CH
336 = 7AH + 7CH
336 = 7(AH + CH)

Из последнего уравнения получаем:
AH + CH = 48

Теперь имеем систему двух уравнений:
1) AH^2 + CH^2 = 2304
2) AH + CH = 48

Из уравнения 2 находим:
CH = 48 - AH

Подставляем в уравнение 1:
AH^2 + (48 - AH)^2 = 2304
AH^2 + 2304 - 96AH + AH^2 = 2304
2AH^2 - 96AH = 0
2AH(AH - 48) = 0

Отсюда получаем два возможных решения: AH = 0 или AH = 48. Так как AH не может быть равно 0 (высота треугольника), то AH = 48.

Итак, AH = 48.