Данное уравнение можно решить методом подстановки.

Пусть z = a + bi , где a, b - действительные числа.

Тогда уравнение примет вид:

$a+bi$^4 - 1 = 0

a^4 + 4a^3bi - 6a^2b^2 - 4ab^3i + b^4i^2 - 1 = 0

a^4 - 6a^2b^2 + b^4 - 1 + i$4a^{3}b-4a{b}^3$ = 0

Из этого уравнения можем получить два уравнения:

1) a^4 - 6a^2b^2 + b^4 - 1 = 0

2) 4a^3b - 4ab^3 = 0

Из второго уравнения исключаем b:

4ab$a^2-b^2$ = 0

Таким образом, либо a = 0, либо a^2 - b^2 = 0

Если a = 0, то из первого уравнения получаем: b^4 - 1 = 0 => b = ±1

Итак, решения для случая a = 0: z = ±i

Если a^2 = b^2, то b = ±a

Подставляем b = ±a в первое уравнение:

a^4 - 6a^2a^2 + a^4 - 1 = 0

2a^4 - 1 = 0

a^4 = 1/2

a = ±√$1/\surd 2$

Получаем решения: z = √$1/\surd 2$ ± √$1/\surd 2$i, z = -√$1/\surd 2$ ± -√$1/\surd 2$i

Итак, решения уравнения z^4 - 1 = 0: z = ±i, z = √$1/\surd 2$ ± √$1/\surd 2$i, z = -√$1/\surd 2$ ± -√$1/\surd 2$i.