Для начала найдем катеты треугольника ABC.
Так как ctg угла B = 0.75, то тангенс угла B = 1 / 0.75 = 4/3.

Так как угол B меньше 90°, то синус угла B = 4 / 5, косинус угла B = 3 / 5.

Пусть катеты треугольника ABC равны a и b (a - катет, противолежащий углу B; b - прилежащий катет). Тогда:
b / a = 4 / 3 => a = 3b / 4

Так как BC = 3 и AC = a + b, то получаем:
(3b / 4) + b = 3
Отсюда находим b:
3b / 4 + 4b / 4 = 3
7b / 4 = 3
7b = 12
b = 12 / 7

Теперь найдем AH. Так как H - основание высоты, то треугольник AHС - подобен треугольнику ABC:
AH / AC = CH / CB
AH / (3 + 12 / 7) = 3 / 3
AH / (21 / 7 + 12 / 7) = 1
AH / (33 / 7) = 1
AH = 33 / 7

Итак, AH = 4.7.