Пусть числа (40<b<c). Так как (40bc) — квадрат, то, с учётом (40=2^3\cdot5), должно быть
[
bc=10m^2
]
для некоторого натурального (m).

Поскольку числа различны и (b>40), (c\ge b), имеем (bc\ge41\cdot42=1722). Поэтому
[
10m^2\ge1722\implies m^2\ge172{,}2\implies m\ge14.
]

При (m=14) получается (bc=10\cdot14^2=1960). Делители этого числа не дают двух значений одновременно больше (40) (единственная пара близкая к середине — (40\cdot49), но одно из чисел равно (40), что недопустимо). При (m=15) имеем
[
bc=10\cdot15^2=2250=45\cdot50,
]
и тройка (40,45,50) даёт (40\cdot45\cdot50=300^2). Нельзя получить меньшее значение максимального числа: для (c<50) требовалось бы (m\le15), но (m=14) не даёт решения, значит минимум достигается при (c=50).

Ответ: (50).