Уравнение имеет один корень, если дискриминант равен нулю. Дискриминант уравнения (ax^2+bx+c=0) вычисляется по формуле (D=b^2-4ac).

В данном случае у нас есть уравнение (6x^2-4x+c=0). Значит, (a=6), (b=-4), (c=c).

Дискриминант этого уравнения равен:
[D=(-4)^2-4\cdot6\cdot c]

Для одного корня (D=0). Подставляем (D=0) и находим значение (c):
[0=(-4)^2-4\cdot6\cdot c]
[0=16-24c]
[24c=16]
[c=\frac{16}{24}]
[c=\frac{2}{3}]

Таким образом, при (c=\frac{2}{3}) уравнение (6x^2-4x+c=0) имеет один корень.