Задача по олимпиаде математика В четырехугольной пирамиде SABCD: боковые грани SAB, SBC, SCD, SDA имеют площади 9,9,27,27 соответственно; двугранные углы при ребрах AB,BC,CD,DA равны; четырехугольник ABCD — вписанный, и его площадь равна 36. Найдите объем пирамиды SABCD.
Задача по олимпиаде математика В четырехугольной пирамиде SABCD: боковые грани SAB, SBC, SCD, SDA имеют площади 9,9,27,27 соответственно; двугранные углы при ребрах AB,BC,CD,DA равны; четырехугольник ABCD — вписанный, и его площадь равна 36. Найдите объем пирамиды SABCD.
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Обозначим через h высоту пирамиды SABCD.
Площадь боковой грани SAB равна (1/2) AB h = 9, значит, AB = 18/h.
Площадь боковой грани SCD равна (1/2) CD h = 27, значит, CD = 54/h.
Так как площадь четырехугольника ABCD равна 36, то AB * BC = 36. Из этого следует, что BC = 2.
Так как углы при ребрах AB и BC равны, то треугольник ABC равнобедренный, и аналогично получаем, что AB = BC = 2.
Теперь можем найти высоту пирамиды:
h = CD = 54/hh^2 = 54h = 3√6
Объем пирамиды равен (1/3) S h, где S - площадь основания.
S = AB BC = 2 2 = 4
V = (1/3) 4 3√6 = 4√6
Ответ: объем пирамиды SABCD равен 4√6.