Для решения данной производной, представим функцию в виде:
f(x) = (1 + 16x^2) / arctg(4x)

Затем умножим числитель и знаменатель на arctg(4x):
f(x) = (1 + 16x^2) * arctg(4x) / arctg(4x)

Далее найдем производную данной функции по формуле (u/v)'= u'v - uv'/v^2:
f'(x) = ((1 + 16x^2)' arctg(4x) - (1 + 16x^2) (arctg(4x))' / (arctg(4x))^2

Вычислим производные числителя и знаменателя:
(1 + 16x^2)' = 0 + 32x = 32x
(arctg(4x))' = 1 / (1 + (4x)^2) * 4 = 4 / (1 + 16x^2)

Подставим вычисленные производные в формулу производной:
f'(x) = (32x arctg(4x) - (1 + 16x^2) 4 / (1 + 16x^2)^2

Упростим выражение:
f'(x) = (32x * arctg(4x) - 4 - 64x^2) / (1 + 16x^2)^2

Итак, производная функции (1 + 16x^2) / arctg(4x) равна (32x * arctg(4x) - 4 - 64x^2) / (1 + 16x^2)^2.