Данное уравнение можно решить, заметив, что оно является квадратным относительно ( \cos^2 x ):
Пусть ( t = \cos^2 x ), тогда уравнение примет вид:
( 16t^2 - 24t + 9 = 0 ).

Найдем дискриминант:
( D = (-24)^2 - 4169 = 576 - 576 = 0 ).

Так как дискриминант равен нулю, то уравнение имеет единственный корень:
( t = \frac{24}{2*16} = \frac{3}{4} ).

Таким образом, у нас есть единственный корень ( t = \frac{3}{4} ), что соответствует ( \cos^2 x = \frac{3}{4} ) или ( \cos x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} ).

На отрезке ( [2\pi; 3\pi] ) функция ( \cos x ) положительна, поэтому корень ( \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} ) удовлетворяет условиям задачи.

Ответ: ( x = \frac{5\pi}{6} ).