Пусть в коробке лежит x шаров. Тогда:

Предположим, что шаров можно разложить на пары. Тогда x должно быть четным, чтобы не оставался лишний шар.
Предположим, что шаров можно разложить на тройки. Тогда x должно быть сравнимо с 2 по модулю 3, чтобы не оставался лишний шар.
Предположим, что шаров можно разложить на пятёрки. Тогда x должно быть сравнимо с 1 по модулю 5, чтобы не оставался лишний шар.

Таким образом, наименьшее число шаров, которое удовлетворяет всем этим условиям, будет 41. Итак, в коробке должно лежать 41 шар.