Для арифметической прогрессии сумма первых n членов вычисляется по формуле $$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$$, где $S_n$ - сумма первых n членов прогрессии, $a_1$ - первый член прогрессии, $d$ - разность прогрессии.

Из условия задачи имеем: $S_4=9$ и $S_6=22.5$. Значит:

$$S_4=\frac{4}{2}(2a_1+3d)=9$$ $$2(2a_1+3d)=9$$ $$4a_1+6d=9$$ $$2a_1+3d=\frac{9}{2}$$

$$S_6=\frac{6}{2}(2a_1+5d)=22.5$$ $$3(2a_1+5d)=22.5$$ $$6a_1+15d=22.5$$ $$2a_1+5d=\frac{22.5}{3}$$ $$2a_1+5d=7.5$$

Из полученных уравнений можно составить систему и решить ее методом умножения и вычитания:

$$\{\begin{array}{l}2a_1+3d=\frac{9}{2}2a_1+5d=7.5\end{array}$$

Вычитаем второе уравнение из первого:

$$2d=\frac{9}{2}-7.5$$ $$2d=\frac{9}{2}-\frac{15}{2}$$ $$2d=-\frac{6}{2}$$ $$d=-3$$

Подставляем значение d в первое из уравнений:

$$2a_1+3(-3)=\frac{9}{2}$$ $$2a_1-9=\frac{9}{2}$$ $$2a_1=\frac{9}{2}+9$$ $$2a_1=\frac{9}{2}+\frac{18}{2}$$ $$2a_1=\frac{27}{2}$$ $$a_1=\frac{27}{4}$$

Таким образом, общий член арифметической прогрессии равен:
$$a_n=\frac{27}{4}+(-3)(n-1)=\frac{27}{4}-3n+3$$