Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции f(x) = x^3/3 + 5x^2/2 + 7x + 1 необходимо найти производную этой функции и исследовать ее на возрастание и убывание.

f'(x) = x^2 + 5x + 7

Для нахождения точек экстремума производной приравниваем ее к нулю:

x^2 + 5x + 7 = 0

Дискриминант этого уравнения равен D = 5^2 - 417 = 25 - 28 = -3, что меньше нуля. Значит, уравнение не имеет действительных корней.

Так как производная f'(x) = x^2 + 5x + 7 является параболой ветвями вверх и не имеет экстремумов, то функция f(x) возрастает на всей области определения (отношения x^-∞, ∞).