Для доказательства данного утверждения воспользуемся индукцией.

База индукции:
При n = 1:
9^99 + 9^100 + 9^101 = 9^99(1 + 9 + 9^2) = 9^9991, что делится на 91.

Предположим, что утверждение верно для n = k:
9^99 + 9^100 + ... + 9^(100 + k) = 9^99 * (1 + 9 + 9^2 + ... + 9^k) делится на 91.

Докажем для n = k + 1:
9^99 + 9^100 + ... + 9^(100 + k + 1) = 9^99 (1 + 9 + 9^2 + ... + 9^k + 9^(k+1)) = 9^99 (1 + 9 + 9^2 + ... + 9^k) + 9^100 * 91.

Таким образом, согласно предположению, первое слагаемое делится на 91. Для второго слагаемого 9^100 * 91 делится на 91.

Следовательно, утверждение доказано.