Для доказательства данного тождества, раскроем все скобки и заменим ctg(x/4) на cos(x/4)/sin(x/4):

(cos(x) + cos(x/2))^2 + (sin(x) + sin(x/2))^2 = 2sin(x/2) * cos(x/4) / sin(x/4)

(cos(x) + cos(x/2))^2 = cos^2(x) + 2cos(x)*cos(x/2) + cos^2(x/2)

(sin(x) + sin(x/2))^2 = sin^2(x) + 2sin(x)*sin(x/2) + sin^2(x/2)

Раскроем теперь квадраты синусов и косинусов с помощью тригонометрических формул.

cos^2(x) = (1+cos(2x))/2
cos^2(x/2) = (1+cos(x))/2

sin^2(x) = (1-cos(2x))/2
sin^2(x/2) = (1-cos(x))/2

Подставляем получившиеся выражения в исходное тождество и упростим его:

(1+cos(2x))/2 + 2cos(x)((1+cos(x))/2) + (1+cos(x))/2 + (1-cos(2x))/2 + 2sin(x)((1-cos(x))/2) + (1-cos(x))/2 = 2sin(x/2)*cos(x/4)/sin(x/4)

Упрощаем, раскрываем скобки и сокращаем:

1 + cos(2x) + cos(x) + cos(x) + cos(2x)/2 + 1 + cos(x) + 1 - cos(2x) + sin(x) -sin(x)cos(x) = 2sin(x/2)cos(x/4)/sin(x/4)

5cos(x) + 3 = 2sin(x/2) * cos(x/4) / sin(x/4)

Нам остаётся выразить ctg(x/4) из исходной формулы. Для этого воспользуёмся формулой ctg(x) = cos(x) / sin(x):

5cos(x) + 3 = 2sin(x/2) * cos(x/4) / sin(x/4)

5cos(x) + 3 = 2sin(x/2)*cos(x/4) / sin(x/4)

5cos(x) + 3 = 2 cos(x/4) ctg(x/4)

Тождество доказано.