Для доказательства убывания функции y=k/x на промежутках (-∞;0) и (0;+∞) нам необходимо показать, что производная функции на этих промежутках отрицательна.

Вычислим производную функции y=k/x по переменной x:

y' = -k/x^2

Теперь заметим, что производная функции отрицательна на промежутке (-∞;0), так как при x<0 в знаменателе стоит отрицательное число, что делает выражение в знаменателе положительным, а умножение на -k делает производную отрицательной.

Аналогично, на промежутке (0;+∞) производная также отрицательна, так как в этом случае в знаменателе стоит положительное число, и умножение на -k делает производную отрицательной.

Таким образом, функция y=k/x убывает на промежутках (-∞;0) и (0;+∞).