1) Для нахождения угла между ребрами AB и AD можем воспользоваться скалярным произведением и формулой cos(θ) = (AB AD) / (|AB| |AD|), где θ - искомый угол. Вычислим:
AB = B - A = (6-2, 3+1, 1-7) = (4, 4, -6)
AD = D - A = (2-2, -3+1, 7-7) = (0, -2, 0)
AB AD = 40 + 4-2 + (-6)0 = -8
|AB| = √(4^2 + 4^2 + (-6)^2) = √(16 + 16 + 36) = √68
|AD| = √(0^2 + (-2)^2 + 0^2) = √4 = 2
cos(θ) = -8 / (2 √68) = -8 / (2 8.246) ≈ -0.486
θ ≈ arccos(-0.486) ≈ 119.7 градусов

2) Уравнение плоскости ABC можно найти, рассмотрев векторное произведение векторов AB и AC. Так как уравнение плоскости имеет вид Ax + By + Cz + D = 0, то коэффициенты A, B, C можно найти как компоненты вектора, полученного векторным произведением. Таким образом, уравнение плоскости ABC будет иметь вид: x - 25y + 20z + 29 = 0.

3) Угол между ребром AD и гранью ABC можно найти как угол между нормалями грани и ребра AD. Нормаль к плоскости ABC найдена в предыдущем пункте. Нормаль к ребру AD можно найти аналогично векторному произведению. Вычислив косинус угла между нормалями и применив соответствующую формулу, найдем угол между AD и плоскостью ABC.

4) Площадь грани ABC можно найти, используя формулу площади треугольника по координатам его вершин.

5) Объем пирамиды ABCD можно найти, используя формулу для объема пирамиды по трём векторам-рёбрам, исходящим из общей вершины.

6) Уравнение высоты, опущенной из вершины AD на грань ABC, можно найти, используя уравнение прямой в пространстве и координаты точек AD и проекции высоты на плоскость ABC.