1) Выразим одну из переменных через другую из первого уравнения:
x^2 + y^2 + 2x + 2y = 23
x^2 + y^2 = 23 - 2x - 2y
x^2 + y^2 = 23 - 2(x + y)

2) Подставим это выражение во второе уравнение:
(23 - 2(x + y)) + 2xy = 9
23 - 2x - 2y + 2xy = 9
2xy - 2x - 2y + 14 = 0
2xy - 2x - 2y + 14 = 0
2xy - 2x - 2y + 14 = 0
2xy - 2(x + y) + 14 = 0
2(xy - x - y) + 14 = 0

3) Представим этот результат в виде квадратного уравнения:
(2y - 2)x + (2x - 14) = 0
2(y - 1)x + 2(x - 7) = 0
2(y - 1)x + 2(x - 7) = 0
2(x - 7)(y - 1) = 0

4) Рассмотрим два возможных случая:
a) x - 7 = 0 => x = 7
Подставляем x = 7 в первое уравнение:
7^2 + y^2 + 2*7 + 2y = 23
49 + y^2 + 14 + 2y = 23
y^2 + 2y - 12 = 0
(y + 4)(y - 2) = 0
y = -4 или y = 2

b) y - 1 = 0 => y = 1
Подставляем y = 1 в первое уравнение:
x^2 + 1^2 + 2x + 2*1 = 23
x^2 + 2x + 3 = 23
x^2 + 2x - 20 = 0
(x + 5)(x - 4) = 0
x = -5 или x = 4

Итак, у нас есть три решения:
1) (x, y) = (7, -4)
2) (x, y) = (7, 2)
3) (x, y) = (-5, 1)
4) (x, y) = (4, 1)