Для исследования функции на экстремум найдем производную функции и приравняем ее к нулю для нахождения критических точек.

Исходная функция: f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 8

Найдем производную функции:

f'(x) = 6x^2 - 6x - 12

Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

6x^2 - 6x - 12 = 0
x^2 - x - 2 = 0
(x - 2)(x + 1) = 0

Отсюда получаем две критические точки: x = 2 и x = -1.

Далее найдем вторую производную функции для выяснения характера экстремумов в найденных точках:

f''(x) = 12x - 6

Теперь подставим найденные критические точки во вторую производную:

f''(2) = 122 - 6 = 18
f''(-1) = 12(-1) - 6 = -18

Таким образом, в точке x = 2 функция имеет локальный минимум, а в точке x = -1 - локальный максимум.

Для нахождения значений функции в данных точках:
f(2) = 22^3 - 32^2 - 122 + 8 = 16 - 12 - 24 + 8 = -12
f(-1) = 2(-1)^3 - 3(-1)^2 - 12(-1) + 8 = -2 - 3 + 12 + 8 = 15

Итак, функция имеет локальный минимум в точке (-12;2) и локальный максимум в точке (15;-1).