Для нахождения производной функции f(x) = cos(2x)(1 + sin(2x)) при х = π/8 будем использовать правило дифференцирования произведения функций.

f'(x) = [cos(2x)]'(1 + sin(2x)) + cos(2x)[1 + sin(2x)]'

Выразим производную от cos(2x) и от sin(2x):

f'(x) = [-sin(2x) 2](1 + sin(2x)) + cos(2x)[0 + cos(2x) 2]

f'(x) = -2sin(2x)(1 + sin(2x)) + 2cos(2x)cos(2x)

Заменим sin(2x) и cos(2x) по формуле двойного угла: sin(2x) = 2sin(x)cos(x), cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x).

f'(x) = -2*2sin(x)cos(x)(1 + 2sin(x)cos(x)) + 2(cos^2(x) - sin^2(x))(cos^2(x) - sin^2(x))

f'(x) = -4sin(x)cos(x)(1 + 2sin(x)cos(x)) + 2cos^4(x) - 2sin^4(x)

Теперь можем найти производную функции f(x) = cos(2x)(1 + sin(2x)) при х = π/8:

f'(π/8) = -4sin(π/8)cos(π/8)(1 + 2sin(π/8)cos(π/8)) + 2cos^4(π/8) - 2sin^4(π/8) ≈ -0.382

Таким образом, производная функции f(x) в точке x = π/8 равна примерно -0.382.