Поскольку (BV) - проекция высоты (CH) на гипотенузу (AC), то у треугольников (BCH) и (AVC) соответственно равны углы при вершине (B) и (A). Таким образом, треугольники (ABV) и (HCV) подобны, и мы можем записать следующее соотношение:

(\dfrac{AB}{HV} = \dfrac{AV}{HC})

(\dfrac{12}{3} = \dfrac{AV}{HC})

(4 = \dfrac{AV}{HC})

(AV = 4HC)

Используя теорему Пифагора для треугольника (AVC), мы можем записать:

(AC^2 = AV^2 + CV^2)

(AC^2 = (4HC)^2 + CV^2)

(AC^2 = 16HC^2 + CV^2)

(AC^2 = 16 \cdot HV^2 + CV^2)

(AC^2 = 16 \cdot 3^2 + CV^2)

(AC^2 = 144 + CV^2)

Так как (AC = 12), зная что (HV = 3), подставим найденные значения в уравнение:

(12^2 = 144 + CV^2)

(144 = 144 + CV^2)

(CV^2 = 0)

(CV = 0)

Отсюда получаем, что (CV = 0). Таким образом, (CV = 0), то есть (VC) и есть гипотенуза (AC).

Теперь находим (AH):

[AH = AV - HV = 4 \cdot 3 = 12]

Ответ: (AH = 12) и (VC = 12)