1) Представим число 10 в виде суммы двух неотрицательных чисел x и y:
10 = x + y

Теперь нужно найти наибольшее значение выражения z = (x^2) 2y.
Из уравнения 10 = x + y получаем, что y = 10 - x.
Подставляем y в выражение z:
z = (x^2) 2(10 - x) = 2x^2 - 20x

Для нахождения максимума функции z, найдем производную:
dz/dx = 4x - 20

Приравниваем производную к нулю:
4x - 20 = 0
4x = 20
x = 5

Подставляем x обратно в уравнение 10 = x + y:
10 = 5 + y
y = 5

Таким образом, число 10 можно представить в виде суммы 5 и 5, и при этом значение z будет наибольшим: z = 50.

2) Площадь прямоугольного треугольника равна (a*b)/2, где a и b - катеты треугольника. По условию задачи, площадь треугольника равна 32 см^2.

Итак, у нас есть уравнение:
(ab)/2 = 32
ab = 64

Нам нужно найти треугольник с наименьшей суммой катетов a и b. Для этого будем искать минимальное значение a + b при условии, что ab = 64.

Попробуем различные значения a и b:
1) a = 1, b = 64: a + b = 65
2) a = 2, b = 32: a + b = 34
3) a = 4, b = 16: a + b = 20
4) a = 8, b = 8: a + b = 16

Таким образом, из всех прямоугольных треугольников с площадью 32 см^2, треугольник с наименьшей суммой катетов будет иметь катеты 8 и 8.