Для нахождения радиуса основания цилиндра наибольшего объема, нужно воспользоваться принципом максимума и минимума.

Объем цилиндра определяется по формуле V = πr^2h, где r - радиус основания цилиндра, h - его высота.

Так как цилиндр высечен из металлического шара, то его объем не может превышать объем шара. Объем шара вычисляется по формуле V = (4/3)πR^3, где R - радиус шара.

Также, радиус основания цилиндра и его высота связаны условием, что их сумма равна радиусу шара: r + h = R.

Теперь составим функцию V(r), которая будет зависеть только от радиуса цилиндра:
V(r) = πr^2(R - r).

Для нахождения радиуса цилиндра наибольшего объема найдем производную функции V(r) и приравняем ее к нулю:
V'(r) = 2πr(R - 2r) = 0.

Отсюда получаем два значения радиуса: r = 0 и r = R/2. Так как нулевой радиус не имеет физического смысла, то радиус цилиндра наибольшего объема равен R/2.

Таким образом, радиус основания цилиндра наибольшего объема, высеченного из металлического шара радиусом 6 см, равен 3 см.