Для нахождения промежутков монотонности данной функции у = x^3 + 3x^2 + 9x + 1, нужно найти производную функции и определить знак этой производной на интервалах между ее корнями.

Найдем производную функции:
y' = 3x^2 + 6x + 9

Найдем корни уравнения y' = 0:
3x^2 + 6x + 9 = 0
x^2 + 2x + 3 = 0

Дискриминант D = 2^2 - 413 = 4 - 12 = -8

D < 0 => уравнение не имеет корней => у функции нет точек экстремума

Определим знак производной на интервалах между корнями уравнения y' = 0:
Для этого можно найти значение функции y' в точках, лежащих между корнями уравнения выше, например, x = 0, x = -2 и x = 1.

y'(0) = 9 > 0 => функция возрастает на интервале (-бесконечность, -2)
y'(-2) = 3 > 0 => функция возрастает на интервале (-2, 1)
y'(1) = 9 > 0 => функция возрастает на интервале (1, +бесконечность)

Таким образом, функция у = x^3 + 3x^2 + 9x + 1 возрастает на всей числовой прямой.