Для доказательства этого утверждения, рассмотрим выражение x^2 + 2x + y^2 - 4y + 5 в общем виде.

x^2 + 2x + y^2 - 4y + 5 = (x + 1)^2 + (y - 2)^2 + 1

Мы видим, что первые два слагаемых в скобках - это квадраты двух выражений x + 1 и y - 2, которые всегда больше или равны нулю. Таким образом, (x + 1)^2 + (y - 2)^2 всегда неотрицательно.

Также мы видим, что к этой сумме прибавляется константа 1, которая также больше нуля.

Следовательно, выражение x^2 + 2x + y^2 - 4y + 5 всегда принимает неотрицательные значения при любых значениях переменных x и y.