Докажите что для любого натурального числа n верно равенство (n-1)!+n!+(n+1)!=(n+1)^2(n-1)!
Докажите что для любого натурального числа n верно равенство (n-1)!+n!+(n+1)!=(n+1)^2(n-1)!
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Для доказательства данного равенства воспользуемся свойствами факториала и алгебраическим преобразованиями.
Исходное равенство:
(n-1)! + n! + (n+1)! = (n+1)^2(n-1)!
Перепишем правую часть равенства:
(n+1)^2(n-1)! = (n+1)(n+1)(n-1)! = (n^2 + 2n + 1)(n-1)! = (n^2 + 2n + 1)! = n^2(n-1)! + 2n(n-1)! + (n-1)!
Таким образом, мы получили, что:
(n-1)! + n! + (n+1)! = n^2(n-1)! + 2n(n-1)! + (n-1)!
Теперь рассмотрим левую часть равенства:
(n-1)! + n! + (n+1)! = (n-1)! + n(n-1)! + (n(n-1)! + (n-1)!) = (n-1)! + n(n-1)! + n*(n-1)! + (n-1)! = n^2(n-1)! + 2n(n-1)! + (n-1)!
Таким образом, левая и правая части равенства совпадают для всех натуральных чисел n, что и требовалось доказать.