База: при n=1 выполнение утверждения очевидно, так как 19^1-1=18, что делится на 18.
Предположение: пусть $19^k-1$ делится на 18 для некоторого натурального k.
Тогда 19^$k+1$-1=1919^k-1=$18+1$19^k-1=1819^k+19^k-1.
Поскольку 1819^k делится на 18 в силу предположения индукции, то достаточно показать, что 19^k-1 также делится на 18.
Получаем, что $19^k+1$-1, т.е. $19^k-1$ делится на 18.
Таким образом, для любого натурального значения n $19^n-1$ делится на 18.

База: при n=1 выполнение утверждения очевидно, так как 6^3+1=217, что делится на 7.
Предположение: пусть 6^$2k+1$+1 делится на 7 для некоторого натурального k.
Тогда 6^$2(k+1)+1$+1=6^$2k+1$6^2+1=$6^{(}2k+1)</em>36$+1=6^$2k+1$35+6^$2k+1$+1.
Поскольку 6^$2k+1$35 делится на 7 в силу предположения индукции, то достаточно показать, что 6^$2k+1$+1 также делится на 7.
Получаем, что 6^$2k+1$+1 делится на 7.
Таким образом, для любого натурального значения n $6^{(}2n+1)+1$ делится на 7.