Для нахождения производной функции y = (x^3 + 1) * 4^x воспользуемся правилом дифференцирования произведения и правилом дифференцирования степенной функции.

Сначала раскроем скобки в функции y = (x^3 + 1) 4^x:
y = x^3 4^x + 4^x

Теперь возьмем производную от каждого слагаемого по отдельности:
(dy/dx) = d/dx (x^3 * 4^x) + d/dx (4^x)

Для первого слагаемого (x^3 4^x) воспользуемся правилом дифференцирования произведения:
(dy/dx) = (x^3)' 4^x + x^3 * (4^x)'

где (x^3)' = 3x^2 (производная x^3 по x) и (4^x)' = 4^x ln(4) (производная 4^x по x)
(dy/dx) = 3x^2 4^x + x^3 4^x ln(4)

Для второго слагаемого 4^x воспользуемся правилом дифференциирования степенной функции:
(dy/dx) = 0 + 4^x * ln(4)

Итак, производная функции y = (x^3 + 1) 4^x равна:
(dy/dx) = 3x^2 4^x + x^3 4^x ln(4) + 4^x * ln(4)