Для нахождения наименьшего значения данного выражения, нужно выразить его отдельно по переменным x и y, а затем найти минимальные значения каждого выражения.

Для x:
Выражение 4sin^2x + 12sinx можно представить в виде полного квадрата:
4sin^2x + 12sinx = 4(sin^2x + 3sinx + 2.25) - 9 = 4(sin(x + 1.5)^2 - 9
Тогда минимальное значение этого выражение будет равно -9, когда sin(x + 1.5) = 0.

Для y:
Выражение tg^2y - 6tgy можно представить в виде полного квадрата:
tg^2y - 6tgy = (tg^2y - 6tgy + 9) - 9 = (tg(y - 3)^2 - 9
Минимальное значение этого выражение будет равно -9, когда tg(y - 3) = 0.

Итак, наименьшее значение всего выражения равно -9.