Для нахождения радиуса окружности, заданной уравнением x^2 - 6x + y^2 + 2y = 6, нужно преобразовать уравнение в каноническую форму уравнения окружности.

Для этого выразим полный квадрат для x и y:

x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9
y^2 + 2y = (y + 1)^2 - 1

Теперь подставим это в исходное уравнение:

(x - 3)^2 - 9 + (y + 1)^2 - 1 = 6
(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 16

Теперь у нас получилось уравнение окружности в каноническом виде: (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2, где (h, k) - координаты центра окружности, r - радиус окружности.

Сравнивая данное уравнение с уравнением окружности в канонической форме, видим, что центр окружности находится в точке (3, -1).

Радиус окружности вычисляется по формуле r = √16 = 4.

Таким образом, радиус окружности x^2 - 6x + y^2 + 2y = 6 равен 4.