Для поиска наименьшего и наибольшего значения функции f(x) на промежутке [pi/2; pi], мы сначала найдем производную функции f(x) и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки, затем найдем значения функции на концах промежутка и в найденных критических точках.

f(x) = 2sinx + sin2x
f'(x) = 2cosx + 2cos2x
Далее решим уравнение f'(x) = 0:
2cosx + 2cos2x = 0
cosx + cos2x = 0
cosx + 2cos^2(x) - 1 = 0
cosx + 2(1 - sin^2(x)) - 1 = 0
cosx + 2 - 2sin^2(x) - 1 = 0
2cosx - 2sin^2(x) + 1 = 0
2cosx - 4sin(x)cos(x) + 1 = 0
2cosx (1 - 2sin(x)) + 1 = 0
cosx = -1/2

Теперь найдем значения функции на краях промежутка:
f(pi/2) = 2sin(pi/2) + sin(2pi/2) = 2 + sin(pi) = 2
f(pi) = 2sin(pi) + sin(2pi) = 0 + 0 = 0

Находим значение функции при cos(x) = -1/2:
f(2pi/3) = 2sin(2pi/3) + sin(4pi/3) = 2*sqrt(3)/2 + 2sqrt(3)/2 = 3sqrt(3)

Таким образом, наименьшее значение функции на промежутке [pi/2; pi] равно 0, а наибольшее значение равно 3sqrt(3).