Для нахождения предела данного выражения при x -> -1, не используя правило Лопиталя, мы можем умножить и поделить на сопряженное выражение в знаменателе, чтобы избавиться от корня.

Lim (3x^2 + 4x + 1) / (sqrt(x + 3) - sqrt(5 + 3x))
= Lim [(3x^2 + 4x + 1) (sqrt(x+3) + sqrt(5 + 3x))] / [(sqrt(x + 3) - sqrt(5 + 3x)) (sqrt(x+3) + sqrt(5 + 3x))]

Далее мы получаем:

= Lim [3x^2 + 4x + 1] * [sqrt(x + 3) + sqrt(5 + 3x)] / [-2]
= - 1

Поэтому Lim(3x^2+4x+1)/(sqrt(x+3)-sqrt(5+3x)) = -1, когда x -> -1.