Для нахождения предела данного выражения при (x \rightarrow -\infty) сначала упростим выражение под знаком предела:

[
\lim_{{x \to -\infty}} \left(\frac{2x+1}{x-1}\right)^{4x}
]

Для начала преобразуем дробь под знаком степени:

[
\lim{{x \to -\infty}} \left(\frac{2x+1}{x-1}\right)^{4x} = \lim{{x \to -\infty}} \left(\frac{2x+1}{x-1}\right)^{\frac{4x(x-1)}{x-1}}
]

[
= \lim_{{x \to -\infty}} \left(\frac{(2x+1)^{x-1}}{(x-1)^{x-1}}\right)^{\frac{4x}{x-1}}
]

Затем применим свойство эквивалентности с "бесконечно малой":

[
\lim{{x \to -\infty}} \left(\frac{(2x+1)^{x-1}}{(x-1)^{x-1}}\right)^{\frac{4x}{x-1}} = \lim{{x \to -\infty}} \left(\frac{(2x)^{x-1}}{(x)^{x-1}}\right)^{\frac{4x}{x-1}}
]

[
= \lim_{{x \to -\infty}} \left(\frac{(2x)^{x-1}}{(x)^{x-1}}\right)^{\frac{4x}{x-1}}
]

[
= \lim_{{x \to -\infty}} \left(\frac{2^{x-1} x^{x-1}}{x^{x-1}}\right)^{\frac{4x}{x-1}}
]

[
= \lim_{{x \to -\infty}} \left(2^{x-1}\right)^{\frac{4x}{x-1}}
]

[
= \lim_{{x \to -\infty}} 2^{4x}
]

Теперь, когда (x \rightarrow -\infty) и (4x) также будет стремиться к (-\infty), предел будет стремиться к (0).

Итак, (\lim_{{x \to -\infty}} \left(\frac{2x+1}{x-1}\right)^{4x} = 0)