Для решения данного предела без использования правила Лопиталя, преобразуем выражение под знаком предела:

Lim((x+2)/(x+1))^(1+2x) = Lim((1 + 1/(x+1))^(x+1))^(1+2x) = Lim((1 + 1/(x+1))^(x+1))*(1+2x)

Теперь рассмотрим предел в скобках:

Lim((1 + 1/(x+1))^(x+1)) = e

Так как предел при x стремящемся к бесконечности известен и равен e.

Итак, Lim((x+2)/(x+1))^(1+2x) = e * (1+2x)

Последний предел равен бесконечности, так как умножение конечной величины (e) на бесконечно увеличивающуюся (1+2x) приводит к бесконечности.

Таким образом, Lim((x+2)/(x+1))^(1+2x) при x стремящемся к бесконечности равен бесконечности.