Пусть $x$ - путь, который прошел первый теплоход, и $474-x$ - путь, который прошел второй теплоход.

Так как скорость первого теплохода равна 42 км/ч, то время, за которое он прошел путь $x$, равно $\frac{x}{42}$ часов. Аналогично, время, за которое второй теплоход прошел путь $474-x$ км, равно $\frac{474-x}{42}$ часов.

Из условия задачи известно, что оба теплохода встретились через 6 часов, поэтому уравнение будет выглядеть так:
$$\frac{x}{42}+\frac{474-x}{42}=6.$$

Упрощаем уравнение:
$$\frac{x+474-x}{42}=6,$$ $$\frac{474}{42}=6,$$ $$x=6\cdot 42=252.$$

Следовательно, первый теплоход прошел 252 км, а второй - 474 - 252 = 222 км.