Для того чтобы найти область определения функции y = √(16x - x^2 - 64), нужно найти значения x, при которых аргумент под корнем неотрицательный.

Из-за наличия корня в функции, значение под корнем должно быть больше либо равно нулю:

16x - x^2 - 64 ≥ 0

Перепишем это неравенство в виде квадратного трехчлена:

-x^2 + 16x - 64 ≥ 0

Функция это парабола, которая ветвится вверх, так что ее значение будет больше нуля, при уровне x, которые меньше корней этого квадратного трехполиномиального уравнения. Мы можем найти корни этого уравнения и построить график, чтобы определить, где функция будет положительной и отрицательной.

Сначала найдем х в вершине параболы. Функция аргумента параболы задается уравнением x = -b/2a, где a = -1, b = 16:

x = -16 / 2(-1) = 8

Теперь найдем значение функции в точке х = 8:

(8)^2 - 16*(8) + 64 = 0

Затем найдем корни уравнения:

(-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

(-16 ± √(16^2 - 4(-1)(-64))) / 2(-1)

(-16 ± √(256 - 256)) / -2

(-16 ± 0) / -2

-16 / -2 = 8

Таким образом, корни этого уравнения равны x1 = 8 и x2 = 8. Это означает, что функция положительна для всех x на интервале (−∞, 8) и (8, +∞), и отрицательна на интервале (8, 8).

Итак, областью определения функции y = √(16x - x^2 - 64) будет интервал (-∞, 8) объединенный с интервалом (8,+∞).