Коротко о сути ошибки, исправление и достаточные условия.
1) Недостаток в доказательстве (типичная неверность).
Студент часто делает шаг: «для любого фиксированного $n$ существует $m>n$ такое, что $|a_m-a_n|<\epsilon$», и из этого делает вывод, что последовательность фундаментальна (или сходится). Это неверно: существование для каждого $n$ некоторого $m$ (зависящего от $n$) не даёт единого $N$, с которого для всех $m,n\ge N$ выполняется требуемое неравенство. Контрпример: $a_n=0$ при нечётных $n$, $a_n=1$ при чётных $n$. Для любого фиксированного $n$ найдётся $m>n$ с $|a_m-a_n|=0$ (взять ту же чётность), но последовательность не фундаментальна и не сходится (для $\epsilon =\frac{1}{2}$ нет $N$ с $|a_m-a_n|<\frac{1}{2}$ для всех $m,n\ge N$).
2) Исправленное краткое доказательство (как получить сходимость корректно).
Допустим, в решении можно получить неравенство (симметричное по индексам или по крайней мере дающее убывающую в одном аргументе оценку)
$$\text{(A)}|a_m-a_n|\le {\epsilon }_n\text{для всех}m>n,$$ где ${\epsilon }_n\to 0$ при $n\to \infty$. Тогда последовательность фундаментальна и, следовательно, сходится (в $\mathbb{R}$ или в любом полном пространстве):
Доказательство: пусть $\delta >0$. Так как ${\epsilon }_n\to 0$, существует $N$ такое, что для всех $n\ge N$ ${\epsilon }_n<\delta$. Тогда для любых $m\ge n\ge N$ из (A) следует
$$|a_m-a_n|\le {\epsilon }_n<\delta ,$$ то есть последовательность фундаментальна. В $\mathbb{R}$ фундаментальность эквивалентна сходимости, следовательно $\exists {\lim }_{n\to \infty }{a}_n$.
Если в доказательстве получено несимметричное представление
$$|a_m-a_n|\le {\alpha }_n+{\beta }_m,$$ где ${\alpha }_n\to 0$ при $n\to \infty$ и ${\beta }_m\to 0$ при $m\to \infty$, то тоже получаем сходимость: выбрать $N$ так, чтобы для всех $k\ge N$ ${\alpha }_k<\frac{\delta }{2}$ и ${\beta }_k<\frac{\delta }{2}$; тогда для любых $m,n\ge N$ $$|a_m-a_n|\le {\alpha }_n+{\beta }_m<\delta .$$
3) Достаточные (и удобные) условия сходимости последовательности $a_n$ (коротко).
- Фундаментальность: $\forall \epsilon >0\exists N\forall m,n\ge N:|a_m-a_n|<\epsilon$.
- Монотонность + ограниченность: если $a_n$ монотонна и ограничена, то $\lim a_n$ существует (в $\mathbb{R}$).
- Сумма модулей приращений конечна (телескопическая оценка): если ${\sum }_{k=1}^{\infty }|a_{k+1}-a_k|<\infty$, то $a_n$ сходится, потому что
$$|a_m-a_n|\le \sum _{k=n}^{m-1}|a_{k+1}-a_k|\to 0(n,m\to \infty ).$$ - Контрактивность приращений: если существует $q\in (0,1)$ такое, что $|a_{n+1}-a_n|\le q|a_n-a_{n-1}|$ для больших $n$, то приращения убывают геометрически, следовательно $a_n$ сходится.
- Представление через сходящуюся подпоследовательность + малая разность: если существует подпоследовательность $b_n\to L$ и одновременно $|a_n-b_n|\to 0$, то $a_n\to L$.
- Оценки вида $|a_m-a_n|\le \varphi (n)+\varphi (m)$ с $\varphi (k)\to 0$ дают фундаментальность (см. выше).
Вывод: исправьте в студентском доказательстве момент, где используется «существует для каждого n некоторый m», на оценку, дающую единый хвост (условие вида (A) или симметричную оценку), либо докажите одно из приведённых достаточных условий.