Ответ: предел равен $\frac{a^5}{120}$.
Способы и комментарии.
1) Разложение в ряд Тейлора (самый простой и прямой). Для малого $u$ имеет место
$\sin u=u-\frac{u^3}{6}+\frac{u^5}{120}+o(u^5)$.
Положив $u=ax$, получаем числитель
$\sin (ax)-ax+\frac{(ax{)}^3}{6}=\frac{(ax{)}^5}{120}+o(x^5)$,
следовательно
${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin (ax)-ax+\frac{(ax{)}^3}{6}}{x^5}=\frac{a^5}{120}.$ Удобно, когда известны ряды Тейлора; быстро и надёжно при конечном $a$.
2) Правило Лопиталя (систематический, но трудоёмкий). Нумератор и знаменатель дают неопределённость $0/0$; применяя Лопиталя пять раз,
${\lim }_{x\to 0}\frac{N(x)}{x^5}=\frac{N^{(5)}(0)}{5!},$ где $N(x)=\sin (ax)-ax+\frac{(ax{)}^3}{6}$. Вычисляя производные, получаем $N^{(5)}(0)=a^5$, а $5!=120$, отсюда тот же результат $\frac{a^5}{120}$.
Полезно, когда предпочитают дифференцирование вместо серий; менее удобно при необходимости многих дифференцирований.
3) Теорема о остаточном члене Тейлора (Лагранж, интегральная форма). По форме Лагранжа существует $\xi$ между $0$ и $ax$ такая, что
$\sin (ax)-ax+\frac{(ax{)}^3}{6}=\frac{(ax{)}^5}{120}\cos (\xi ).$ При $x\to 0$ имеем $\cos (\xi )\to 1$, значит предел опять $\frac{a^5}{120}$.
Это даёт строгую оценку остатка и удобно, если нужно строгое обоснование с явной оценкой погрешности.
Условия применимости: все три метода требуют, чтобы $a$ было конечным числом (действительным или комплексным); для $a=0$ формула даёт 0. Ряд Тейлора и остаток — наиболее краткие и надёжные; Лопиталя — универсален, но громоздок при высоких степенях; формулы с остатком полезны для строгих оценок.