Это не совсем верно. В доказательстве теоремы Лагранжа о среднем значении для произвольной функции f(x), непрерывной на отрезке [a, b] и дифференцируемой на интервале (a, b), утверждается, что :

Существует точка c ∈ (a, b), такая что f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a).

Где (f(b) - f(a)) / (b - a) называется средней скоростью изменения функции на отрезке [a, b].

Если функция дифференцируема на интервале (a, b), то она также непрерывна на отрезке [a, b]. Следовательно, в точках a и b функция может иметь производные, не обязательно равные нулю.

Если предположить, что f'(a) = f'(b) = 0, это означает, что функция постоянна на отрезке [a, b] и теорема Лагранжа теряет свою смысловую нагрузку.