Для определения первообразной функции f(x) = 2e^x + 4x^3 - 5, сначала найдем первообразную каждого слагаемого по отдельности:

∫2e^x dx = 2∫e^x dx = 2e^x + C₁

∫4x^3 dx = x^4 + C₂

∫5 dx = 5x + C₃

Теперь сложим эти первообразные и добавим постоянную С:

F(x) = 2e^x + x^4 - 5x + C₁ + C₂ + C₃

Так как известно, что F(0) = 4, подставим это значение:

4 = 2e^0 + 0 - 0 + C₁ + C₂ + C₃
4 = 2 + C₁ + C₂ + C₃

Мы имеем бесконечное количество решений для C₁, C₂ и C₃, но так как нам дан лишь результат F(0) = 4, можем использовать это для определения одного из них. Заметим, что в предыдущем выражении 2 = 2 + C₁ + C₂ + C₃. Отсюда видно, что С₁ = C₂ = C₃ = 0.

Итак, первообразная функции f(x) = 2e^x + 4x^3 - 5 будет:

F(x) = 2e^x + x^4 - 5x + 4.