Для решения данного интеграла воспользуемся методом интегрирования по частям.

Интегрируем по частям:
∫e^x • sin$e^x$ dx = -e^x • cos$e^x$ - ∫$-e^x•cos(e^x)$ dx

Далее продолжаем интегрировать по частям:
∫e^x • sin$e^x$ dx = -e^x • cos$e^x$ + ∫e^x • cos$e^x$ dx

Получаем два интеграла, которые мы можем объединить:
2∫e^x • sin$e^x$ dx = -e^x • cos$e^x$ + e^x • sin$e^x$

И окончательное решение:
∫e^x • sin$e^x$ dx = $-e^x•cos(e^x)+e^x•sin(e^x)$/2 + C

Где C - произвольная постоянная.