Для решения данного неравенства нужно сначала привести его к более удобному виду. Заметим, что 25 = 5^2, поэтому можно преобразовать неравенство следующим образом:

10⋅2^$2x$ − 29⋅10^x +10⋅25^x = 10⋅2^$2x$ − 29⋅10^x +10⋅5^$2x$

Теперь подставим y = 10^x, получим:

10⋅4y² − 29y +10y² = 10⋅4y² + 10y² - 29y = 14y² - 29y

Теперь перепишем неравенство в новых обозначениях:

14y² - 29y ≤ 0

Найдем корни уравнения 14y² - 29y = 0:

y$14y-29$ = 0

y = 0 или y = 29/14

Теперь найдем соответствующие x:

10^x = 0 или 10^x = 29/14

Первое уравнение не имеет решений, так как 10 в степени x всегда положительно. Решим второе уравнение:

x = log$29/14$ по основанию 10

x ≈ 0.414

Таким образом, сумма всех натуральных чисел, входящих во множество решений данного неравенства, равна 0.