Пусть стороны треугольника ABD равны a, b, c, а стороны треугольника BDC равны x, y, z. Тогда имеем систему уравнений:

a + b + d = 12,
x + y + d = 30,
a + b + c + d = 32.

Сложим первые два уравнения, чтобы избавиться от переменной d:

a + b + d + x + y + d = 42,
a + b + x + y + 2d = 42.

Теперь выразим d через другие переменные:
d = (42 - a - b - x - y) / 2.

Подставим это выражение в третье уравнение:

a + b + c + (42 - a - b - x - y) / 2 = 32,
2a + 2b + 2c + 42 - a - b - x - y = 64,
a + b + 2c - x - y = 22.

Таким образом, получаем, что длина отрезка BD равна c = 22.