Для начала раскроем скобки в данном выражении:

(5x+4y+6)^2 = 25x^2 + 16y^2 + 36 + 40xy + 60x + 48y

(3x+4y+2)^2 = 9x^2 + 16y^2 + 4 + 24xy + 12x + 16y

Теперь сложим оба выражения:

25x^2 + 16y^2 + 36 + 40xy + 60x + 48y + 9x^2 + 16y^2 + 4 + 24xy + 12x + 16y

= 34x^2 + 32y^2 + 40xy + 72x + 64y + 40

Далее, найдем минимум этого выражения. У нас нет свободного члена, поэтому минимум будет достигаться в той точке, где производные по x и y равны нулю. Сначала найдем производные:

d/dx (34x^2 + 32y^2 + 40xy + 72x + 64y + 40) = 68x + 40y + 72

d/dy (34x^2 + 32y^2 + 40xy + 72x + 64y + 40) = 64y + 40x + 64

Теперь приравняем обе производные к нулю и найдем точку минимума:

68x + 40y + 72 = 0
64y + 40x + 64 = 0

Отсюда получаем систему уравнений:

68x + 40y = -72
40x + 64y = -64

Решив эту систему численно, получим x = -2, y = 3.

Теперь найдем минимальное значение выражения (5x+4y+6)^2+(3x+4y+2)^2 при подстановке x = -2 и y = 3:

(5(-2)+43+6)^2+(3(-2)+43+2)^2 = (-10 + 12 + 6)^2 + (-6 + 12 + 2)^2 = 8^2 + 8^2 = 64 + 64 = 128

Итак, минимальное значение выражения равно 128, а значения x = -2 и y = 3.