Для доказательства данного тождества, нам необходимо использовать тригонометрические тождества и определения тангенса.

Заметим, что tg(a) = 2tg(a / 2) / (1 - tg^2(a / 2)).

Раскроем обе части равенства по отдельности.

1) (tg(a/2) ) / (1 + tg(a/2)) + (tg(a/2) ) / (1 - tg(a/2))

= (tg(a/2) (1 - tg(a/2)) + tg(a/2) (1 + tg(a/2))) / (1 - tg^2(a/2))
= (tg(a/2) - tg^2(a/2) + tg(a/2) + tg^2(a/2)) / (1 - tg^2(a/2))
= 2tg(a/2) / (1 - tg^2(a/2))
= tg(a)

Таким образом, мы доказали исходное тождество tg(a) = (tg(a/2) ) / (1 + tg(a/2)) + (tg(a/2) ) / (1 - tg(a/2)).