Для доказательства данного тождества преобразуем левую часть:

((sinα+cosα)^2 + (sinα-cosα)^2 = sin^2α + 2sinαcosα + cos^2α + sin^2α - 2sinαcosα + cos^2α
= 2sin^2α + 2cos^2α
= 2(sin^2α + cos^2α)
= 2

Таким образом, левая часть равна правой части, что и требовалось доказать.