Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции необходимо найти экстремумы функции.
Для этого возьмем производную функции:

Y' = -2sinxcosx - 2/3sinxcosx

Приравняем производную к нулю, чтобы найти точки экстремума:

-2sinxcosx - 2/3sinxcosx = 0
-8/3sinxcosx = 0
sinxcosx = 0

Это уравнение имеет решения при x = 0, pi/2, -pi/2.

Теперь найдем значение функции в найденных точках и на концах указанных интервалов $0,2pi$:

Y$0$ = cos^2$0$ - 1/3sin^2$0$ + 1 = 1 - 0 + 1 = 2
Y$pi/2$ = cos^2$pi/2$ - 1/3sin^2$pi/2$ + 1 = 0 - 1/3 + 1 = 2/3
Y$-pi/2$ = cos^2$-pi/2$ - 1/3sin^2$-pi/2$ + 1 = 0 - 1/3 + 1 = 2/3

Таким образом, наибольшее значение функции равно 2, а наименьшее значение функции равно 2/3.